图子（graphon）的割距离与弱*拓扑之间的关系

图子理论与所谓的割范数密切相关。在本文中，我们通过弱*拓扑（当考虑 $L^{1}$ 函数的预对偶时）来研究割范数拓扑。我们证明：图子序列 $W_1,W_2,W_3,\ldots$ 在割距离下收敛，当且仅当对于所有与 $W_1,W_2,W_3,\ldots$ 弱同构的图子序列 $W_1',W_2',W_3',\ldots$，其弱*聚点集与弱*极限点集相等。我们进一步给出一个简短的描述集合论论证，表明每个图子序列都包含一个具有上述性质子序列。这尤其为 Lov\'asz 和 Szegedy 关于图子空间紧致性的定理提供了另一种证明。我们将这些结果与 [Ann. of Math. (2) 176 (2012), no. 1, 151-219] 中割距离收敛的“多路割”刻画联系起来。这些结果在带有弱*拓扑的图子上的 Vietoris 超空间 $K$ 中表述更为自然。我们证明带有割距离拓扑的图子同胚于 $K$ 的一个闭子集，并推导出该事实的几个推论。从这些概念中产生了图子空间上的一种新序。该序可用于比较两个图子的结构化程度。我们建立了这一“结构化序”的基本性质。