由边重构弱简单多边形

给定平面上 $n$ 条线段，它们是否构成一个弱简单多边形的边集；也就是说，对于任意 $\varepsilon>0$，能否将线段端点扰动不超过 $\varepsilon$ 以得到一个简单多边形？虽然简单多边形的类似问题可以在 $O(n\log n)$ 时间内轻松解答，我们证明了对于弱简单多边形该问题是 NP 完全的。我们给出了两种特殊情况下的 $O(n)$ 时间算法：所有线段共线，或线段端点处于一般位置。这些结果可推广至线段为有向线段的变体，此时多边形的逆时针遍历应遵循该方向。我们研究了 $n$ 条输入线段的并集连通时的相关问题。(i) 若每条线段可细分为多条线段，求构成弱简单多边形所需的最少细分点数。(ii) 若可添加新线段，求能构成弱简单多边形的新线段的最小总长度。我们给出了这两个问题的最坏情况上界和下界。