通过有效对相互作用实现 Iso-$g_2$ 过程的可实现性

统计力学中的一个悬而未决的问题是：确定在数密度 $\rho$ 下，成对关联函数 $g_2(r)$（或等价地，结构因子 $S(k)$）的给定函数形式能否由 $d$ 维多体系统实现。Zhang-Torquato 猜想指出，任何可实现的成对统计量集合，无论来自非平衡还是平衡系统，都可以通过涉及至多两体相互作用的平衡系统实现。鉴于此猜想，我们研究了非平衡 iso-$g_2$ 过程的可实现性问题，即确定密度依赖的有效势，其产生的平衡态中 $g_2$ 在正的密度范围内保持不变。利用一种精确的逆方法，该方法确定与所有 $r$ 的假设函数形式 $g_2(r)$ 以及所有 $k$ 的 $S(k)$ 相匹配的有效势，我们表明单位阶跃函数 $g_2$（即硬球势的零密度极限）在 $d=1$ 时显著地可在数值上实现至填充率 $\phi=0.49$。对于 $d=2$ 和 3，其可实现至最大“终端”填充率 $\phi_c=1/2^d$，此时系统为超均匀（hyperuniform），意味着可实现性的显式已知必要条件在 $\phi_c$ 之前是充分的。对于接近但低于 $\phi_c$ 的 $\phi$，有效势的大-$r$ 行为精确由函数形式 $\exp[-\kappa(\phi) r]$（$d=1$）、$r^{-1/2}\exp[-\kappa(\phi) r]$（$d=2$）和 $r^{-1}\exp[-\kappa(\phi) r]$（Yukawa 形式）（$d=3$）给出，其中 $\kappa^{-1}(\phi)$ 为屏蔽长度；而对于 $\phi=\phi_c$，大 $r$ 处的势由相应维度中的纯库仑形式给出，正如 Torquato 和 Stillinger [\textit{Phys. Rev. E}, 68, 041113 1-25 (2003)] 所预测的那样。