曲线自由空间的可实现性

自由空间图是计算著名的 Fréchet 距离的一种常用工具。由于 Fréchet 距离被用于许多不同领域，已建立多种变体以满足这些应用的具体需求。经常会出现这样的问题：自由空间图中的某种模式是否“可实现的”，即是否存在一对多边形链，其自由空间图与之对应。该问题的答案可能有助于判定这些距离度量的计算复杂性，并允许针对避免某些自由空间模式的受限输入类设计更高效的算法。因此，我们研究逆问题：给定潜在的自由空间图，是否存在生成该图的曲线？我们关注的问题与经典的 Distance Geometry 问题密切相关。我们确定了 $\mathbb{R}^{> 2}$ 中 Distance Geometry 的复杂性，证明了 $\exists\mathbb{R}$-困难性。我们利用这一点证明，对于 $\mathbb{R}^{\ge 2}$ 中的曲线，无论连续还是离散 Fréchet 距离，可实现性问题都是 $\exists\mathbb{R}$-完全的。我们证明 $\mathbb{R}^1$ 中的连续情形仅是弱 NP-困难的，并给出了一个伪多项式时间算法，且证明其是固定参数可处理的。有趣的是，对于 $\mathbb{R}^1$ 中的离散情形，我们证明该问题可在多项式时间内求解。