面向 PDE 的预训练有限元方法：基于物理信息神经算子的数学习题与热启动框架
机器学习
2026-01-07 v1
摘要
我们提出了一种预训练有限元方法（PFEM），这是一种由物理驱动的框架，旨在结合神经算子学习的效率与经典有限元方法（FEM）的精度和鲁棒性。PFEM 包括物理信息预训练阶段和可选的微调阶段。在预训练阶段，仅基于编微分方程训练基于 Transolver 架构的神经算子，不依赖标记解数据。该模型直接作用于非结构点云，联合编码几何信息、材料属性和边界条件，产生计算效率极高的物理一致初始解。通过显式基于有限元的微分，强制执行 PDE 约束，避免自动微分的开销。在微调阶段，将预训练的预测用作常规 FEM 求解器的初始猜测，保留其准确性、收敛性保证和外推能力，同时大幅减少达到给定容差所需的迭代次数。PFEM 在包括线性弹性和非线性弹性、具有复杂几何形状、异质材料以及任意边界条件的基准问题上进行了验证。数值结果表明，预训练阶段的模型在精度上表现出强大的泛化能力，相对误差可达 1%，在微调阶段相较于零初始猜测的 FEM 实现，加速速度可达一个数量级。
关键词
引用
@article{arxiv.2601.03085,
title = {Real-Time Adaptive Anomaly Detection in Industrial IoT Environments},
author = {Mahsa Raeiszadeh and Amin Ebrahimzadeh and Roch H. Glitho and Johan Eker and Raquel A. F. Mini},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.03085},
year = {2026}
}