具有最少离散建议的实数计算：非一致可计算性的复杂性理论

在数值和计算机科学中，一个众所周知的事实是，与其求解某个一般问题 f:A->B，不如利用关于 A 中输入 x 的附加结构信息（即任何关于 x 属于 A 的某个子集 A' 的承诺）。来自实数计算的一些例子表明，这种离散建议甚至可以决定可计算性与不可计算性之间的差别。我们将其转化为信息的拓扑和组合复杂性理论，研究对于几个实际问题，有多少建议是使其可计算的必要和充分条件。具体而言，对于给定的奇异实 NxN 矩阵 A，在已知 rank(A)=0,1,...,N-1 时，找到齐次线性方程 A*x=0 的非平凡解是可能的；并且我们证明这是最佳可能的。类似地，对给定的实对称 NxN 矩阵进行对角化（即找到其特征向量的基），在已知不同特征值的数量（1 到 N 之间的整数，后者对应非简并情况）时是可能的。我们再次证明，为了使该问题（连续且）可计算，N 倍（即大约 log N 比特）的附加信息确实是必要的；而对于寻找 A 的某个单一特征向量，提供 A 的最小维特征空间的截断二进制对数——即 Theta(log N) 倍建议——是充分且最优的。