实轴上带 Freud 权重的 $L_2$ 空间中的快速多项式逼近

权重 $W_\alpha(x)=\exp{(-|x|^{\alpha})}$ $(\alpha>1)$ 构成了实轴上 Freud 权重的一个子类。主要从泛函分析的角度，我们研究了 $L_2(\mathbb R, W_\alpha^2(x)\,dx)$ 的一个子空间，该子空间由那些能被多项式快速逼近的元素组成。该子空间具有自然的 Fréchet 拓扑，在此拓扑下它同构于快速递减序列空间。我们证明了它由光滑函数组成，并获得了关于其拓扑的具体结果。对于 $\alpha=2$ 的情况，我们可以用 Schwartz 函数对该拓扑向量空间给出一个完整且初等的描述。