流形上的 Rao-Blackwellized 评分匹配

我们研究在潜在分布支持于光滑嵌入流形 $M \subset \mathbb{R}^D$ 上的去噪评分匹配（DSM）。在环境高斯噪声下，切向去噪目标包含一个奇异正交纤维噪声通道，其方差随 $\sigma \to 0^+$ 时发散为 $d/\sigma^2$。我们证明，条件化于最近点投影 $\pi(X)$ 可规范性地消除此奇异性： resulting conditional expectation 是唯一在仅依赖于投影观测 $\pi(X)$ 的所有估计器中，对切向 DSM 目标的 $L^2$ 最优 Rao-Blackwellized 预测器。随后，我们计算该规范目标的小噪声展开，证明其等于内在黎曼得分，除去显式的 $O(\sigma^2)$ 校正项，该校正项分解为内在 Tweedie 项和涉及 Weingarten 和 Ricci 算子之外在曲率项。在平坦情况下，构造恰好简化为普通的低维高斯 DSM，而在 $S^d$ 上，外在校正简化为标量因子 $(1-d/2)\nabla_M \log q$；这种外在的 $\sigma^2$ 校正在 $S^2$ 上完全消消，尽管内在 Tweedie 项仍然存在。