大型矩阵谱密度的精确随机估计

对于大型 Hermitian 矩阵 $A\in \mathbb{C}^{N\times N}$，通常唯一可负担的操作是矩阵-向量乘法。在此情形下，随机方法是估计 $A$ 的谱密度（或态密度）的有力手段。然而，迄今为止开发的用于估计谱密度的随机方法仅独立地从不同随机向量提取信息，因此精度本质上受限于 $\mathcal{O}(1/\sqrt{N_{v}})$，其中 $N_{v}$ 是随机向量的数量。本文中我们证明，当通过 $A$ 的多项式适当滤波时，利用随机向量的相关信息可以克服“$\mathcal{O}(1/\sqrt{N_{v}})$ 屏障”。我们的方法利用如下事实：谱密度的估计本质上需要计算一系列数值低秩的矩阵函数的迹。通过将 $A$ 重复作用于同一组随机向量并对结果取不同的线性组合，我们能够在谱的不同部分建立此类低秩分解，从而扫过 $A$ 的整个谱。在某些假设下，我们证明这种谱扫描方法的稳健高效实现能以 $\mathcal{O}(N^2)$ 计算代价和 $\mathcal{O}(N)$ 内存代价精确计算谱密度。数值结果表明，新方法在精度上可显著优于现有随机方法。作为一个应用，我们展示了一种通过仔细平衡被积函数的平滑性与使用去卷积过程的正则化态密度，来精确计算光滑矩阵函数迹的方法。