基于深度神经网络预测的奇异性准最优 $hp$ 有限元加密

我们展示了如何构建深度神经网络（DNN）专家，以针对给定计算问题预测准最优 $hp$ 加密。主要思想是在执行自适应 $hp$ 有限元方法（$hp$-FEM）算法期间训练 DNN 专家，并在之后使用它来预测进一步的 $hp$ 加密。对于训练，我们采用两网格范式的自适应 $hp$-FEM 算法。该算法利用细网格为粗网格单元提供最优 $hp$ 加密。我们旨在构建 DNN 专家以识别粗网格单元的准最优 $hp$ 加密。在训练阶段，我们使用直接求解器获得细网格的解，以指导粗网格单元上的最优加密。训练后，我们关闭自适应 $hp$-FEM 算法，并继续采用训练好的 DNN 专家所提出的准最优加密。我们在三维 Fichera 和二维 L 形域问题上测试了我们的方法。我们验证了数值精度相对于网格尺寸的收敛性。我们表明，如果我们使用训练良好的 DNN 专家继续加密，自适应 $hp$-FEM 所提供的指数收敛性得以保持。因此，在本文中，我们表明可以从自适应 $hp$-FEM 中训练 DNN 专家识别奇异性位置，并继续选择准最优 $hp$ 加密，保持该方法的指数收敛性。