寻找非凸函数驻点的量子下界

优化问题的量子算法具有普遍意义。尽管近期在经典环境下非凸优化的下界以及凸优化的量子下界方面取得了进展，非凸优化的量子下界仍基本开放。本文系统研究了寻找非凸函数 $\epsilon$-近似驻点的量子查询下界，并考虑以下两种重要设置：1）可访问 $p$ 阶导；或 2）可访问随机梯度。经典查询下界在第一种设置下为 $\Omega\big(\epsilon^{-\frac{1+p}{p}}\big)$，在第二种设置下为 $\Omega(\epsilon^{-4})$（若随机梯度函数满足均方平滑性则为 $\Omega(\epsilon^{-3})$）。本文将以上所有经典下界推广至量子设置。它们分别与经典算法结果匹配，表明无论是否具备均方平滑性假设，在输入 $p$ 阶导或随机梯度时，寻找非凸函数 $\epsilon$-驻点均无量子加速。从技术上讲，我们的量子下界通过证明所有这些设置中经典困难实例的序列性同样适用于量子查询而得到，从而排除了除顺序揭示驻点信息之外的任何量子加速。