量化巴尔斯基-尤恩定理：三州分配方法中的配额违规的结构与概率

分配问题旨在根据人口为各州分配代表名额。即在给定普查数据和固定席位数的情况下，每个州应分配多少席位？虽然存在各种算法来解决分配问题，但根据巴尔斯基-尤恩不可避免定理，此类算法的每一种方法在某方面都会存在缺陷。本文聚焦于分配方法中的除数法，其中可能出现的缺陷称为配额违规。本文对三州情形下可能出现的配额违规进行了详细分析。通过聚焦三州情形，本文使巴尔斯基-尤恩定理的后果尤为显著，并允许对配额违规进行精确分类，这在更一般的表述中难以实现。该研究聚焦于在分配 M 个席位时，阿达斯方法、杰斐逊方法、Dean方法和Huntington-Hill方法中的配额违规，但可扩展至更广泛的除数函数类别。本文对这些方法的行为进行理论证明，尤其关注可能出现的配额违规类型、频率，其结构与几何。论文的关键结果是检测配额违规的测试方法，这些方法被用于理解违规的几何结构，并构建一个概率函数，以计算给定初始三州人口向量（其分量遵循不同分布）时发生此类违规的可能性。