离散结构的临界几何：分层晶格上的 percolation

考虑{\Lambda}_n体积逐渐增大的球，独立地以概率1-\exp(-\beta J(x, y))在每对顶点x\neq y之间放置边，其中J(x, y) \asymp ||x-y||^{-\alpha}，其中0<\alpha<5d/6。我们确定该模型的临界窗口，并在临界窗口内建立度量缩放极限。更准确地说，我们表明最大组件的度量缩放极限为Brownian过程，并证明该模型属于Erdos-Renyi普适类当0<\alpha<5d/6时。 Hutchcroft最近推测该模型在{\alpha}\in(d, 4d/3]时也属于Erdos-Renyi普适类，我们认为这同样适用于所有{\alpha}\in(0, d]。本文在该方向上证明了第一个结果。我们进一步表明，当0<\alpha<2d/3时，临界窗口内每个最大组件的环径为{\Omega}_P(|{\Lambda}_n|^{1/3})，而当d<{\alpha}\leq 4d/3时，环径等于3。我们的关键工具是[10, 13]中证明的普适性原理。我们的证明技术可适用于离散 torus上长程percolation的类似问题，前提是获得 barely亚临界两点函数的上界。