树上单峰偏好：多赢家选举与结构结果

如果一个候选集可以被赋予一种树结构，使得每位选民的偏好沿树中所有路径从其最偏好候选者起递减，则该偏好剖面在树上单峰。该概念由 Demange（1982）引入，随后 Trick（1989）描述了一种高效算法来判断给定剖面是否在树上单峰。我们研究了在树上单峰偏好下，几种 Chamberlin-Courant 规则变体的多赢家选举的复杂性。我们表明该问题的平等主义版本允许多项式时间算法。对于功利主义版本，我们证明赢家确定仍是 NP-难的，即使对 Borda 计分函数也是如此；然而，如果底层树的叶子数或内部顶点数被常数界定，则可以在多项式时间内找到获胜委员会。要从这些正面结果中获益，我们需要一个能判定给定剖面是否在具有额外理想性质（例如叶子数少）的树上单峰的过程。为应对这一挑战，我们开发了一种结构方法，使我们能紧凑地表示所有使给定剖面单峰的树。我们展示如何利用该表示高效地为给定剖面找到最佳树以用于我们的赢家确定算法：给定剖面，我们可以高效找到叶子数最少的树，或在剖面单峰的树中内部顶点数最少的树。我们还考虑了树的若干其他优化准则：对其中一些我们得到了多项式时间算法，而对另一些我们展示了 NP-难结果。