算法信息距离的精确表达式

我们考虑由 Bennett、Gács、Li、Vitányi 和 Zurek 于 1998 年引入的两个对象 $x$ 与 $y$ 之间的信息距离概念，其定义为从一个对象计算出另一个对象的最短程序长度，即既能从 $y$ 计算出 $x$，也能从 $x$ 计算出 $y$。该论文证明了该距离等于 $\max (K(x|y),K(y|x))$ 直至可加对数项，并猜想无法将其改进到 $O(1)$ 精度。我们重新审视定义中的微妙问题并证明了这一猜想。我们表明，若距离至少在对数长度量级，则对于等长字符串，该等式确实以 $O(1)$ 精度成立。因此对于此类字符串，三角不等式与刻画均以最优精度成立。最后，我们将结果推广到大小有界的集合 $S$。我们证明，对于每个常数~$s$，给定其任意元素能打印出 $s$ 元集合 $S \subseteq \{0,1\}^n$ 的最短程序，其长度至多为 $\max_{w \in S} K(S|w) + O(1)$，前提是该最大值至少关于~$n$ 为对数级。