具有相互作用与环境依赖的种群：从少数（近乎）独立个体到高密度下的确定性演化

许多种群，例如细胞、细菌、病毒或复制的 DNA 分子，起始规模小，源于少数个体，并增长至环境容纳量 $K$ 的显著比例。典型地，起始稀疏集合中的元素彼此不相互阻碍，其数量将从 $Z_0=z_0$ 以分支过程或马尔萨斯式、大致指数的方式增长，$Z_t \sim a^tW$，其中 $Z_t$ 为离散时间 $t\to\infty$ 时的大小，$a>1$ 为（在元素的低起始密度与大的 $K$ 下）每个体平均后代数，$W$ 为 $z_0$ 个独立同分布随机变量之和。因此，它仅在约 $\log K$ 代之后才变得可检测（即与 $K$ 同阶），其时其密度 $X_t:=Z_t/K$ 将趋于严格为正。典型地，该实体将是随机的，即便起始完全非随机（如小写 $z_0$ 所示）， due to variations during the early development。然而，从那时起，大数定律效应将使过程确定性化，尽管由时间 log $K$ 处的随机密度通过变量 $W$ 表达所启动。因而，$W$ 既充当遮蔽起始的随机面纱，又充当后续确定性种群密度演化的随机初值。我们使此类论证严格化，研究一般的密度以及亦依赖于系统大小的过程，当 $K\to\infty$。作为内在大小参数，$K$ 亦可被选为时间单位。基本思想是初值系统耦合于分支过程，并证明后期密度极似条件期望算子的迭代般发展。