精确多数共识的群体协议——微小失败概率如何帮助消除无关意见

我们考虑了群体协议的精确多数共识问题。在此问题中，$n$ 个匿名智能体各自以 $k$ 种意见之一开始。它们的目标是通过随机、成对交互达成一致，选择最初最频繁出现的意见（即多数意见）。$k = 2$ 种意见的情况被称为多数问题。最近的突破性进展产生了一个始终正确的、精确的多数群体协议，该协议在时间和空间上均是最优的，每个智能体需要 $O(\log n)$ 个状态，且以高概率需要 $O(\log n)$ 的时间~[Doty, Eftekhari, Gasieniec, Severson, Stachowiak, and Uznanski; 2021]。我们知道任何始终正确的协议都需要 $\Omega(k^2)$ 个状态，而目前最好的协议需要 $O(k^{11})$ 个状态~[Natale and Ramezani; 2019]。对于有序意见，这可以改进到 $O(k^6)$~[Gasieniec, Hamilton, Martin, Spirakis, and Stachowiak; 2016]。我们设计了多数共识协议，通过允许一个可忽略的失败概率来打破二次下界。虽然我们的协议可能会失败，但即使偏差为 $1$，它们也能以高概率识别出多数意见。我们的第一个协议在 $O(k \cdot \log n)$ 时间内使用 $O(k + \log n)$ 个状态通过 $k-1$ 场锦标赛实现了这一点。虽然它假设意见存在顺序，但我们在第二个协议中消除了这一限制，代价是时间略微增加至 $O(k \cdot \log n + \log^2 n)$。通过高效剪枝无关意见，我们的最终协议以略微增加状态复杂度 $O(k \cdot \log \log n + \log n)$ 为代价减少了锦标赛的数量。这将时间改进为 $O(n / x_{\max} \cdot \log n + \log^2 n)$，其中 $x_{\max}$ 是多数意见的初始规模。注意 $n/x_{\max}$ 最多为 $k$，并且可以小得多（例如，在偏差很大或存在许多小意见的情况下）。