物品类型数量为常数时的装箱问题多项式性

我们考虑具有 $d$ 种不同物品尺寸 $s_i$ 和物品重数 $a_i$ 的装箱问题，其中所有数字均以二进制编码给出。这种问题表述也称为一维下料问题（1-dimensional cutting stock problem）。在这项工作中，我们提供了一种算法，对于常数 $d$，该算法能在多项式时间内解决装箱问题。这对于所有 $d \ge 3$ 的情况一直是一个开放性问题。事实上，对于常数 $d$，我们的算法能在多项式时间内解决以下问题：给定两个 $d$ 维多胞形 $P$ 和 $Q$，找出 $P$ 中和落在 $Q$ 内的整数点的最小数量。我们的方法也适用于高重数调度问题，其中每种作业类型的副本数量以二进制编码给出，且每种类型带有某些参数，如释放日期、处理时间和截止时间。我们表明，如果作业类型的数量是常数，各种高重数调度问题都可以在多项式时间内解决。