正多边形边缘几何 -- 第 2 部分
组合数学
2026-02-05 v3 离散数学
摘要
存在多种映射可用于生成我们称为正 N 边形“边缘几何”的东西，但它们都基于在扩展的 N 边的边缘上作用于形成“奇点”集合 W 的分段等距变换。该奇点集合也称为“网”(web)，因为它是连通的，由射线或线段组成，可在极限中具有积聚点。我们将在此处使用三种此类映射，所有映射似乎都共享相同的局部 W 几何。这些映射是外摄动图 Tau、数字滤波图 Df 和“双中心”图 Dc。在《Outer-billiards, digital filters and kicked Hamiltonians》(arXiv:1206.5223)中，我们表明 Df 和 Dc 图等价于在托尔空间和复平面上的“剪切和旋转”。在《First Families of Regular Polygons and their Mutations》(arXiv:1612.09295)中，我们表明 Tau 网 W 也可还原为剪切和旋转。这一等价性支持了该网格几何固有于 N 边形的前提。由于 W 的拓扑复杂，我们希望通过研究 N 附近的局部区域来取得一些进展。正 N 边形的每一条边都是位于 N 附近的 Tau 不变区域的一部分。此处的重点是与 N 相邻的 S[1] 和 S[2] 第一个家族瓷砖，但我们也将研究它们与相邻瓷砖的相互作用。由于所有 S[k] 瓷砖以多步骤方式演化，可能可以关于“后代”瓷砖进行预测，这些瓷砖存活于网中。边缘猜想定义了正 N 边形的 8 类，因此正多边形有一个“八度之路”。
引用
@article{arxiv.2407.05936,
title = {Planar graphs in blowups of fans},
author = {Marc Distel and Vida Dujmović and Gwenaël Joret and Piotr Micek and Pat Morin and David R. Wood},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.05936},
year = {2026}
}