PIDM-DP：基于 Dormand-Prince 积分的物理信息扩散模型用于混沌系统识别与跨多动力学 regime 的状态重构

从稀疏、噪声观测中重构混沌动力学系统的连续状态轨迹仍是非线性科学中的一个根本性开放问题。我们提出了物理信息扩散模型与 Dormand-Prince 积分 (Physics-Informed Diffusion Model with Dormand-Prince Integration, PIDM-DP)，该方法将 5 阶 Dormand-Prince (DP-RK45) ODE 积分器直接嵌入到去噪扩散概率模型 (Denoising Diffusion Probabilistic Model, DDPM) 的反向采样循环中。在每个去噪步骤中，通过自动微分反向传播物理残差，将生成的每个轨迹约束在 5 阶精度下满足系统的控制方程。一种线性调度引导机制在高噪声水平时将物理权重从 0 开始，逐渐增加至干净数据极限下的完整值，防止单凭物理信息方法在雅可比特征值达到 $O(10^3)$ 规模的刚性系统中出现梯度爆炸。在评估了五个复杂度递增的基准系统——3D Lorenz、3D R"ossler、5D Hyperchaotic、20D Lorenz-96 以及刚性 3D Rabinovich-Fabrikant——其中在 10% 观测密度下加性高斯噪声 ($\sigma=0.05$) 的条件下，PIDM-DP 相对于不受约束的扩散基线实现了最高可达 $15.4\times$ 的重建 RMSE 改进，并在刚性系统上显著超越 Ensemble Kalman Filter，其中 ensemble 协方差会崩溃。在 Rabinovich-Fabrikant 离群点基准测试中，PIDM-DP 的 RMSE 为 $0.1097 \pm 0.0269$，而不受约束的扩散模型为 $0.9443 \pm 0.5288$（差 $8.6\times$），Ensemble Kalman Filter 为 $0.3561 \pm 0.3040$（差 $3.2\times$），在配对 Wilcoxon 检验中 ($N = 30$) 的 $p<0.001$ 显著。通过 Rosenstein Lyapunov 估计器进行的拓扑验证表明，PIDM-DP 保持了混沌不变测度。