椭圆曲线线性系统中的线性无关性

设 $E$ 为椭圆曲线，其单位元为 $O$，并设 $C$ 为奇阶 $N$ 的循环子群，定义在代数闭域 $k$ 上且 $\operatorname{char} k \nmid N$。对 $P \in C$，令 $s_P$ 为除子为 $N \cdot P - N \cdot O$ 的有理函数。我们追问这 $N$ 个函数 $s_P$ 是否线性无关。对一般的 $(E,C)$，我们证明答案为是。当 $N$ 为素数时，我们利用 $X_1(N)$ 上的泛广义椭圆曲线几何，界定了例外 $(E,C)$ 的个数。该问题可重述为 $E$ 上任意 $N$ 次线丛的截面问题。