$\Pi_{2}$-规则系统与哥德尔代数的归纳类

本文提出直觉主义与模态逻辑系统的$\Pi_{2}$-规则一般理论。我们引入$\Pi_{2}$-规则系统与归纳类的概念，并给出作为基本工具的模型论与代数完备性定理。作为一般理论的示例，我们从结构理论与逻辑观点分析了哥德尔代数（Gödel algebras）的归纳类结构。我们表明，与其他充分研究的情形（如逻辑或单结论规则系统）不同，存在连续统多个扩充$\mathsf{LC}=\mathsf{IPC}+(p\rightarrow q)\vee (q\rightarrow p)$的$\Pi_{2}$-规则系统，并展示我们的方法如何轻松证明著名的Takeuti-Titani规则的可采纳性。我们的最终结果涉及$\mathsf{LC}$中可采纳性的一般问题：（1）我们给出了那些归纳完备（即所有可采纳的$\Pi_{2}$-规则均可推导）的归纳类的完整分类；（2）表明$\mathsf{LC}$上$\Pi_{2}$-规则的可采纳性问题是可判定的。