相空间迭代求解器

我们引入一种求解小应变非线性弹性问题的迭代方法，称为“相空间迭代”（PSIs）。该方法受到数据驱动计算力学近期工作的启发，后者利用与网格相关联的“相空间”概念重新表述了连续介质力学的经典边值问题。相空间是一个抽象度量空间，其坐标由应变和应力分量索引，离散化体的每个可能状态对应于其中的一个点。随后定义两个子集：一个由满足平衡条件的点构成的仿射空间，称为“物理容许集”，以及一个包含满足本构律的点的“材料容许集”。求解边值问题等价于寻找这两个子域的交集。在线弹性情形下，这可通过求解一组线性方程实现；当材料非线性出现时，情况不再如此，必须采用迭代求解方法。我们的迭代方法包括将点从一个集合交替投影到另一个集合，直至收敛。为评估该方法性能，我们借鉴“交替投影法”与“凸集投影法”，二者在解的存在性条件与收敛性保证方面具有坚实的数学基础。我们利用该基础分析最简单情形并建立几何收敛速率。我们还给出一个实际案例，以说明 PSIs 相较于非线性连续介质力学中常用工具——经典 Newton-Raphson 方法的优势。最后，展示了其处理基于神经网络的本构律的能力。