具有不同紧迫性要求的机器的永久维护

一个花园 $G$ 中生长着 $n\ge 1$ 棵竹子 $b_1, b_2, ..., b_n$，其各自的每日生长速率为 $h_1 \ge h_2 \ge \dots \ge h_n$。假设竹子的初始高度为零。维护花园的机器人园丁定期照料竹子，并按照某种时间表将其修剪至零高度。竹子花园修剪问题（BGT）旨在设计一种永久的修剪时间表，使竹子花园的高度尽可能低。竹子花园隐喻一组必须由机器人按不同频率进行维护的机器，该机器人一次只能维护一台机器。目标是设计一种永久的维护时间表，使维护的最大（加权）等待时间最小化。我们考虑 BGT 的两种变体。在离散 BGT 中，机器人每天结束时仅修剪一棵竹子。在连续 BGT 中，竹子可在任意时刻被修剪，但机器人需要时间从一棵竹子移动到下一棵。对于离散 BGT，我们展示了在生长速率均衡情形和一般情形下更紧的近似算法。前一种算法解决了关于 Pinwheel 问题的一个猜想。一般近似算法改进了先前最佳的近似比。对于连续 BGT，我们提出了近似比分别为 $O(\log \lceil h_1/h_n\rceil)$ 和 $O(\log n)$ 的近似算法。