具有限制模式的排列与 Dyck 路径

我们给出了避免 132 的排列与 Dyck 路径之间的一个双射。利用该双射，我们表明所有近期发现的关于具有给定次数的模式 $12... k$ 出现次数的避免 132 排列的生成函数的结果，都直接来自于关于 Motzkin 路径计数的旧结果，其中包含了 Flajolet 的一个连分数结果。作为额外收获，我们利用这些观察推导了进一步的结果，以及对 $\{1,2,...,n\}$ 中恰有 $r$ 次模式 $12... k$ 出现的避免 132 排列数的精确渐近估计。其次，我们给出了避免 123 的排列与 Dyck 路径之间的一个双射。当与 Roblet 和 Viennot 的一个结果结合时，该双射使我们能够将具有给定次数的模式 $(k-1)(k-2)... 1k$ 出现次数的避免 123 排列的生成函数表达为连分数的形式，并推导关于这些排列的进一步结果。