带随机通配符的部分匹配查询：在字典树与分布式哈希表中

考虑对位字典树$T$的$m$位查询$q$。通配符$*$是$q$中未指定位，查询对该位两种情形$*=0$和$*=1$均询问成员资格。此类带通配符的部分匹配查询在字典树中发出是常见的。假设$q$中$w$个通配符均匀随机出现，在$T$中遍历步数平均值显然上界为$2^w m$。我们证明平均值不超过 $$\frac{m+1}{w+1} \left( 2^{w+2} - 2 w - 4 \right) + m = O \left( \frac{2^w m}{w} \right),$$ 且当$T$包含所有$m$位密钥作为最坏情形时恰好等于该值。此处查询$q$在$T$中使用朴素回溯算法执行。类似地，在最大出度$k$的一般字典树中平均值显示为$O \left( \frac{k^w m}{w} \right)$。我们将对字典树的分析扩展到分布式哈希表（DHT），它是网络中最为频繁使用的去中心化数据结构之一。我们在对最大类DHTs的自然概率假设下证明，具有随机$w$个通配符的$m$位查询$q$到DHT$D$所需平均跳数满足相同渐近界。结果，$q$以平均$O \left( \frac{2^w m}{w} \right)$跳数而非$\Theta \left( 2^w m \right)$在四大DHT Chord、Pastry、Tapestry和Kademlia中得到应答。此外，对于足够多条目的均匀密钥分布，我们证明对DHT Chord的查找请求以$O(m)$跳数和概率$1 - 2^{-\Omega (m)}$被正确应答。就作者所知，Chord中正确查找的概率$1 - 2^{-\Omega (m)}$迄今尚未被确定。