椭圆算子的部分求逆以加速贝叶斯推断中的似然计算

通常，在求解正向、反演或数据同化问题时，仅需要解的一部分。作为模型，我们考虑稳态扩散问题。我们演示了一种算法，该算法可以仅计算解的一部分或其泛函，而无需计算完整的逆算子和完整解。关于偏微分方程的一个众所周知的事实是，每个离散点上的解依赖于所有其他离散点上的解。因此，如果不计算所有其他点上的解，就不可能仅计算一个点上的解。诸如共轭梯度法或高斯消元法等标准数值方法会计算整个解和/或完整的逆算子。我们提出了一种方法，可以在不计算所有点上的解的情况下，计算给定偏微分方程的解 1) 在一个点上；2) 在几个点上；3) 在一个界面上；或解的泛函。所需的存储成本和计算资源将低于标准方法。利用这种新方法，我们可以加速例如滤波中新息的计算或衡量数据失配（不匹配）的似然分布的计算。此外，我们可以加速回归、贝叶斯反演、数据同化和卡尔曼滤波更新问题的求解。额外应用层次矩阵近似，我们将立方计算成本降低到几乎线性的 $\mathcal{O}(k^2n \log^2 n)$，其中 $k\ll n$，$n$ 为自由度数。在层次矩阵近似误差范围内，计算出的解是精确的。该方法的缺点之一是需要修改现有的确定性求解器。