5-模ES（Sierpiński）的参数化算法：解的结构、参数化与构造性证明（SERP）

我们考虑将分数 $5/P$ 表示为三个互不相同的单位分数之和 $1/A+1/B+1/C$（其中 $A<B<C$，且 $A,B,C\in\mathbb{N}$）的问题。对于 $P\equiv 1 \pmod{5}$ 的素数，分析得出两种构造性解的类型：ED1（恰好有一个分母可被 $P$ 整除，即 $C=cP$）和 ED2（恰好有两个分母可被 $P$ 整除，即 $B=bP$ 和 $C=cP$）。发展了参数化构造和枚举算法，包括在 ED1 与 ED2 之间的显式转换。提出一种确定性算法，基于由参数对 $(\alpha,d')$ 定义的参数晶格与有限区间的交集。对于每个固定的素数 $P\equiv 1 \pmod{5}$，该算法可构造性地产生一个解。利用巴比克里--维纳瓦甫定理和切比雪夫密度定理，证明可接受参数的密度较高，从而实现平均情况下对数多项式搜索复杂度。所有素数的严格复杂度保证仍是条件性的，取决于有限覆盖假设。该研究将系数 $4$（即 Erdős--Straus 猜想）的先前工作推广到系数 $5$，延续了相同的参数组织和构造性解的结构。分析应用提供了用于密度估计的参数盒子中的平均工具。