分段仿射函数及浅层 CNN 损失函数 Stationarity 测试的参数化复杂性

我们研究了测试连续分段仿射 (PA) 函数在指定点附近的近似一阶 stationarity 的参数化复杂性，这是非光滑优化中的基本任务。PA 函数是非光滑 stationarity 测试的标准模型，捕捉出现在 ReLU 类训练损失中的局部多面体几何。最近的工作由 Tian 和 So (SODA 2025) 表明，对于 PA 函数的近似 stationarity 测试在最坏情况下的计算复杂性是不可接受的，并确定固定维度的可行性作为开放方向。我们从参数化复杂性的视角处理该方向，以环境维数 d 作为参数。在本文中，我们给出固定维度下的可行算法 XP 算法，并证明互补方向的 W[1]-硬性。此外，在指数时间假设下，我们给出下界，排除运行时间为 {\rho}(d)size^{o(d)} 的算法，其中 {\rho} 为可计算函数，size 表示 stationarity 测试实例的总二进制编码长度。作为进一步的 consequences，我们的结果也揭示了测试连续 PA 函数的局部最小性的相应参数化复杂性图景。我们进一步将 hardness 结果扩展到一类浅层 ReLU CNN 训练损失，其中在可训练权重空间中进行 stationarity 测试。因此，相同的 参数化复杂性图景也出现在简单 CNN 训练损失中。