图中检测对问题的参数化与近似复杂度

我们研究了 DETECTION PAIR 问题的复杂度。图 $G$ 的一个检测对是一对探测器集合 $(W,L)$，其中 $W\subseteq V(G)$ 为监视者 (watchers)，$L\subseteq V(G)$ 为监听者 (listeners)，使得对于每一对未被 $W$ 中监视者支配的顶点 $u,v$，都存在 $L$ 中的一个监听者，其到 $u$ 和到 $v$ 的距离不同。目标是最小化 $|W|+|L|$。该问题推广了两个经典问题：DOMINATING SET 和 METRIC DIMENSION，它们分别对应于限制条件 $L=\emptyset$ 和 $W=\emptyset$。DETECTION PAIR 最近由 Finbow、Hartnell 和 Young [A. S. Finbow, B. L. Hartnell and J. R. Young. The complexity of monitoring a network with both watchers and listeners. Manuscript, 2015] 引入，他们证明了该问题在树上是 NP-完全的，考虑到 DOMINATING SET 和 METRIC DIMENSION 已知在树上均可线性时间求解，这是一个令人惊讶的结果。根据 Hartung 和 Nichterlein 针对 METRIC DIMENSION 现有的归约可知，即使在任意大围长的二部三次图上，DETECTION PAIR 也是 NP-难的，无法在次对数因子内近似，且是 W[2]-难的（当以解的大小为参数时）。我们利用向 SET COVER 的归约表明，DETECTION PAIR 可在输入图顶点数的对数因子内进行近似。我们的两个主要结果是：针对树上 DETECTION PAIR 问题的线性时间 $2$-近似算法和 FPT 算法。