在矢量层析成像中通过离散化克服不适定性：无旋矢量场的重建

矢量层析成像方法旨在通过测量这些矢量场投影的线积分，在受限域内重建和可视化矢量场。本文中，我们处理从无旋矢量函数的边界测量中进行重建的问题。如同大多数逆问题，矢量场恢复在连续域中是不适定的，因此需要施加进一步的假设、测量和约束以进行完整的矢量场估计。离散域中的重建思想依赖于求解一个数值线性方程组，该方程组源于沿追踪有界域的直线的线积分近似。本工作广泛描述了矢量场恢复、该逆问题的基本假设和病态性。更重要的是，我们展示了该逆问题通过域离散化得到正则化，即我们表明，在离散网格内利用有限组纵向线积分恢复无旋矢量场，会导致一个一致的线性系统，其解误差有界。我们详细阐述了溶液误差的估计，并证明该相对误差是有限的，从而确保了稳定的矢量场重建。此类理论方面对于矢量层析成像在如生物电场逆问题等实际应用中的未来实现至关重要。我们通过仅基于有限数量边界测量且不需要任何附加或先验信息（例如横向线积分或无源假设）的模拟来重建平滑无旋场，从而验证了我们的理论结果。