DNA 片段组装中的异常值检测

给定 $n$ 个长度为 $\ell$ 的字符串 $S =\{s_1, ..., s_n\}$（基于常数大小字母表 $\Sigma$）以及参数 $d$ 和 $k$，{\em Consensus String with Outliers} 问题的目标是找到 $S$ 的一个大小为 $n-k$ 的子集 $S^*$ 和一个字符串 $s$，使得 $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s) \leq d$。其中 $d(x, y)$ 表示字符串 $x$ 和 $y$ 之间的汉明距离。我们证明：1. 当异常值数量 $k$ 固定且目标是最小化总距离 $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s)$ 时，{\em Consensus String with Outliers} 的一个变体 admits 一个简单的 PTAS。(ii) 在异常值数量 $k$ 较小的自然假设下，{\em Consensus String with Outliers} 距离最小化版本的 PTAS 表现良好。特别是，只要 $k\leq cn$（$c < 1$ 为固定常数），该算法即可在时间 $f(1/\epsilon)(n\ell)^{O(1)}$ 内提供 $(1+\epsilon)$-近似解，因此是一个 EPTAS。2. 为了将 {\em Consensus String with Outliers} 的 PTAS 改进为 EPTAS，$k$ 较小的假设是必要的。具体而言，当允许 $k$ 任意取值时，除非 FPT=W[1]，否则 {\em Consensus String with Outliers} 问题 admits 一个 EPTAS。这一硬度结果甚至对二进制字母表也成立。3. {\em Consensus String with Outliers} 的决策版本在以 $\frac{d}{n-k}$ 为参数时是固定参数可解的，因此仅以 $d$ 为参数时也是固定参数可解的。据我们所知，{\em Consensus String with Outliers} 是第一个 admits PTAS 且以目标函数值为参数时固定参数可解，但在合理的复杂度假设下不 admits EPTAS 的问题。