混沌中的正交多项式逼近与扩展动态模态分解

扩展动态模态分解（EDMD）是一种用于动力学预测与模型降维的数据驱动工具，在物理科学中已被广泛采用。尽管该方法概念简单，但在确定性混沌中其性质乃至收敛目标均不明确。特别地，EDMD 的最小二乘逼近如何处理混沌系统所作用的可微函数类尚不清楚。我们首次针对最简混沌映射实例——圆上的解析扩张映射，建立了 EDMD 的一般严格理论。为此，我们证明了单位圆上正交多项式（OPUC）理论中一个新的基本逼近结果，并应用转移算子理论的方法。我们表明，在无限数据极限下，对三角多项式观测字典的最小二乘投影误差是指数小的。由此，我们证明在此设定下使用 EDMD 产生的预测与 Koopman 谱数据收敛到具有物理意义的极限，且相对于字典规模是指数快的。这表明即使采样测度非均匀，仅用较小的多项式字典，EDMD 也能非常有效。此外，我们的 OPUC 结果暗示基于数据的最小二乘投影可能是一种更普适的高效逼近策略。