在秩不足参数化下离子化损耗的正交分解

当我们考虑连续概率分布的离子化时，必然会导致局部测量在离子化支持上的不可逆几何扭曲。虽然这种离子化引起的扭曲是外部的，仅涉及信息几何 (IG)，但我们最近展示了离子化损耗可以自然地通过 Kullback-Leibler (KL) 散度来表征，该散度是连续分布之间其无穷小参数变化之期望。该框架基于 optimal transport (OT) 与 IG 之间的对应关系，主要要求所选参数直接可识别于支持坐标。本文将该框架扩展到更一般的参数化 $\theta$，特别是当 $\theta$ 与支持坐标之间的雅可比秩不足时，这通常会导致将离子化引起的损耗解释为信息几何量时出现问题。为解决此问题，本文在参数波动产生的协方差矩阵的线性子空间上，对二阶动量张量进行正交分解，基于 Frobenius 投影。该分解自然地将离子化损耗分为相对于所选参数化的可观测和不可观测组件。本文的表述提供了分析离子化引起的 transport-information 损耗部分可观测性的几何框架。特别是，我们表明当参数化投影与 Fisher 信息度量交换时，交叉干扰损耗恰好为零，确立了该术语严格量化所选参数化与统计流形内在可区分性之间的几何失配。因此，本文的框架阐明了参数化相关信息损失的作用用途。