字中间隙重复的最优搜索

继 (Kolpakov et al., 2013; Gawrychowski and Manea, 2015) 之后，我们继续研究字符串中的 $\alpha$-间隙重复（$\alpha$-gapped repeats），其定义为因子 $uvu$ 且满足 $|uv|\leq \alpha |u|$。我们的主要结果是：长度为 $n$ 的字符串中极大 $\alpha$-间隙重复的数目具有 $O(\alpha n)$ 的界，而此前 (Kolpakov et al., 2013) 证明的界为 $O(\alpha^2 n)$。对于密切相关的极大 $\delta$-子重复（指数介于 $1+\delta$ 与 $2$ 之间的极大因子）概念，我们的结果意味着其数目具有 $O(n/\delta)$ 的界，这将 (Kolpakov et al., 2010) 的界改进了 $\log n$ 因子。我们还证明了计算所有极大 $\alpha$-间隙重复的算法时间界为 $O(\alpha n+S)$（$S$ 为输出规模）。受 (Gawrychowski and Manea, 2015) 启发，我们的解法不同于 (Tanimura et al., 2015) 最近发表的对同一界的证明。结合我们对 $S$ 的界，这蕴含了一个计算所有极大 $\alpha$-间隙重复的 $O(\alpha n)$ 时间算法。