最优拟格雷码：字母表至关重要

字母表 $\Sigma$ 上维度为 $n$、长度为 $\ell$ 的拟格雷码是一系列来自 $\Sigma^n$ 的不同词 $w_1,w_2,\dots,w_\ell$，使得对于任意固定的常数 $c>0$，任意两个相邻词至多相差 $c$ 个坐标。在本文中，我们关注比特探测模型下拟格雷码的读和写复杂度，其中我们度量将任意词 $w_i$ 转换为其后继 $w_{i+1}$ 时所读写的符号数量。我们提出了在三进制字母表 $\{0,1,2\}$ 上维度为 $n$、长度为 $3^n$ 的拟格雷码构造，其最坏情况读复杂度为 $O(\log n)$，写复杂度为 $2$。这推广到任意奇数大小字母表。对于二进制字母表，我们提出了维度为 $n$、长度至少为 $2^n - 20n$ 的拟格雷码，其最坏情况读复杂度为 $6+\log n$，写复杂度为 $2$。这补充了 Raskin [Raskin '17] 最近的结果，其表明二进制字母表上长度为 $2^n$ 的任何拟格雷码具有读复杂度 $\Omega(n)$。我们的结果显著改进了先前已知的构造，并且对于奇数大小字母表，我们在具有常数次写操作的空间最优（非冗余）拟格雷码上打破了 $\Omega(n)$ 最坏情况壁垒。我们通过代数工具的新颖应用以及催化计算原理 [Buhrman et al. '14, Ben-Or and Cleve '92, Barrington '89, Coppersmith and Grossman '75] 得到了我们的结果。