带乱序标签线性回归的最优估计器

本文考虑带乱序标签的线性回归任务，即 $\mathbf Y = \mathbf \Pi \mathbf X \mathbf B + \mathbf W$，其中 $\mathbf Y \in \mathbb R^{n\times m}, \mathbf Pi \in \mathbb R^{n\times n}, \mathbf X\in \mathbb R^{n\times p}, \mathbf B \in \mathbb R^{p\times m}$ 和 $\mathbf W\in \mathbb R^{n\times m}$ 分别表示感知结果、（未知或缺失的）对应信息、感知矩阵、感兴趣信号与加性感知噪声。给定观测 $\mathbf Y$ 与感知矩阵 $\mathbf X$，我们提出一种一步估计器来重构 $(\mathbf \Pi, \mathbf B)$。从计算角度看，我们估计器的复杂度为 $O(n^3 + np^2m)$，不大于线性分配算法（如 $O(n^3)$）与最小二乘算法（如 $O(np^2 m)$）的最大复杂度。从统计角度看，我们将最小 $snr$ 需求划分为四个区间，即未知、困难、中等和容易区间；并给出各区间下正确置换恢复的充分条件：$(i)$ 在容易区间中 $snr \geq \Omega(1)$；$(ii)$ 在中等区间中 $snr \geq \Omega(\log n)$；$(iii)$ 在困难区间中 $snr \geq \Omega((\log n)^{c_0}\cdot n^{{c_1}/{srank(\mathbf B)}})$（$c_0, c_1$ 为某些正常数，$srank(\mathbf B)$ 表示 $\mathbf B$ 的稳定秩）。最后，我们亦提供数值实验以证实上述论断。