紧致 $\ell_2$ 回归的降低标签复杂度方法

给定数据 ${\rm X}\in\mathbb{R}^{n\times d}$ 与标签 $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^{n}$，目标是找到 $\mathbf{w}\in\mathbb{R}^d$ 以最小化 $\Vert{\rm X}\mathbf{w}-\mathbf{y}\Vert^2$。我们给出一种多项式时间算法，该算法在\emph{忽略 $\mathbf{y}$} 的情况下丢弃 $n/(d+\sqrt{n})$ 个数据点，并在期望下成为最优解的 $(1+d/n)$-近似。其动机是以降低的标签复杂度（所揭示标签的数量）实现紧致近似。我们将标签复杂度降低了 $\Omega(\sqrt{n})$。开放问题：能否以紧致 $(1+d/n)$-近似将标签复杂度降低 $\Omega(n)$？