大矩阵在指定子空间上投影映射和的最优逼近

我们提出并论证了一种矩阵约简方法，用于计算观测矩阵$A \in {\mathbb C}^{m \times n}$通过矩阵乘积和$\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q B_iX_{ij}C_j$的最优逼近，其中每个$B_i \in {\mathbb C}^{m \times g_i}$和$C_j \in {\mathbb C}^{h_j \times n}$是已知的，未知矩阵核$X_{ij}$通过最小化误差的Frobenius范数来确定。该和可以表示为从指定子空间${\mathcal T} \subseteq {\mathbb C}^n$到指定子空间${\mathcal S} \subseteq {\mathbb C}^m$的有界线性映射$BXC$，其中未知核$X$，这两个子空间分别由给定矩阵$C_1,\ldots,C_q$和$B_1,\ldots,B_p$的集体定义域和值域定义。我们证明了最优核为$X = B^{\dag}AC^{\dag}$，最优逼近$BB^{\dag}AC^{\dag}C$是$A$到从${\mathcal T}$到${\mathcal S}$的映射的投影。如果$A$很大，$B$和$C$也可能很大，直接计算$B^{\dag}$和$C^{\dag}$将变得笨拙且低效。所提出的方法通过将求解过程简化为寻找一组更小矩阵的伪逆来避免这一困难。这显著降低了计算负担。