寻找参数黑盒曲线上最近点和最远点的最优自适应算法
摘要
我们考虑一种用于表示和操作参数曲线的通用模型，其中曲线由一个将参数值（在 0 到 1 之间）映射到欧几里得 d 空间中的点的黑盒指定。在此模型下，我们考虑最近点-on-curve 和 farthest-point-on-curve 问题：给定一条曲线 C 和一个点 p，找出距离 p 最近的点或最远的点。在一般的黑盒模型中，无法解决这些问题。假设对曲线速度有一个已知的界（即 Lipschitz 条件），则可使用 O(1/epsilon) 个样本来估计误差为 epsilon 的答案，且在最坏情况下该界是紧的。然而，许多实例可以用远少于样本数来解决，我们给出能够适应特定实例内在难度的算法，最多只差一个对数因子。更准确地说，如果 OPT(C,p,epsilon) 是每正确算法必须执行的 C 的最小样本数以实现容忍 epsilon，那么我们的算法将执行 O(OPT(C,p,epsilon) log (epsilon^(-1)/OPT(C,p,epsilon))) 个样本。此外，任何算法在某个问题实例 C' 上都需要 Omega(k log (epsilon^(-1)/k)) 个样本，其中 OPT(C',p,epsilon) = k；除了当最近点-on-curve 问题中 C 与 p 的距离小于 epsilon 时，OPT 为 1，但上下界上的样本数均为 Theta(1/epsilon)。当需要相对误差界时，我们给出的算法将执行 O(OPT log (2+(1+epsilon^(-1)) m^(-1)/OPT)) 个样本（其中 m 是 p 到 C 的确切最小或最大距离），并证明在某些问题实例上需要 Omega(OPT log (1/epsilon)) 个样本。
关键词
引用
@article{arxiv.cs/0307005,
title = {Optimal Adaptive Algorithms for Finding the Nearest and Farthest Point on a Parametric Black-Box Curve},
author = {Ilya Baran and Erik D. Demaine},
journal= {arXiv preprint arXiv:cs/0307005},
year = {2007}
}
备注
19 pages, 8 figures; v3 adds relative-error results; v2 adds description of related work in introduction