超越 $\ell_p$ 范数的在线与赌博机算法

向量范数在计算机科学与优化中起着基础作用，因此人们持续努力将现有算法推广到 $\ell_\infty$ 和 $\ell_p$ 范数之外的设定。我们表明，只要范数可由我们引入的“梯度稳定”函数近似，许多通用范数的在线与赌博机应用都存在良好算法。粗略地说，它意味着当我们增大输入向量时，函数的梯度在任何分量上都不应（乘性地）急剧减小。我们证明若干范数族，包括所有单调对称范数，都容许梯度稳定近似，从而给出这些范数族的首个在线与赌博机算法。特别地，我们的梯度稳定性概念为在线广义负载均衡和带背包的赌博机（Bandits with Knapsacks）的对称范数推广给出了 $O\big(\log^2 (\text{dimension})\big)$-竞争算法。我们的技术也扩展到对称范数之外的应用，例如在线向量调度和带凸代价的在线广义分配。由梯度稳定近似所隐含的支撑我们应用的一些关键性质是“平滑博弈不等式”和 Jensen 不等式的近似逆。