关于山尼姆与三角尼姆的变体研究

山尼姆(Yama Nim)是第二作者硕士论文中引入的一种两堆尼姆游戏,玩家从一堆中取走多于$2$枚令牌,并向另一堆返还$1$枚令牌。三角尼姆(Triangular Nim)是其推广,玩家从一堆中取走若干令牌,并向另一堆返还一些令牌(至少一枚),使得两堆中令牌总数严格减少。本文研究它们的获胜策略、Grundy数及其变体与推广。尤为有趣的是Wythoff变体,除山/三角尼姆的走法外,允许玩家从两堆同时取令牌,设从第一堆取$i$枚、从另一堆取$j$枚,并对$i$和$j$施加某些限制。例如,当对三角尼姆强制$i=j>0$时,满足$x\le y$的非负整数对$(x, y)$处于$P$位置当且仅当$(x, y) \in {(0, 0), (0, 1), (1, 3), (3, 6), (6, 10), (10, 15), ...}$,即获胜策略由三角数描述。在其他规则集中,我们也发现了平方数、五角数、几何级数等例子。