承诺的有用性

若布尔谓词 $A$ 满足对某个非平凡 $B$ 而言 $\operatorname{PCSP}(A,B)$ 可解,则称其为承诺有用 (promise-useful);否则称为承诺无用 (promise-useless)。我们首先对这一概念进行初始研究,并推导出承诺有用和承诺无用的充分条件(假设 $\text{P} \ne \text{NP}$)。虽然我们未能获得完整的特征描述,但我们的条件足以对至多4元谓词进行分类,并几乎覆盖所有5元谓词。我们还推导出渐近结果,表明在大 arity 下,绝大多数谓词都是承诺无用的。我们的主要成果源于对 "承诺-SAT" 问题的深入研究,该问题给出一个 $k$-SAT 实例,并承诺存在满足赋值,使得每个子句的文字值满足某些额外约束。算法结果基于 Brakensiek 等人 (SICOMP, 2020) 的基本 LP + 仿射整数规划算法,我们使用若干新颖准则来建立 NP-hardness。