关于与趋势滤波器相关矩阵的谱性质

本文关注与用于估计时间序列潜在趋势的线性滤波器相关的矩阵的谱性质。研究的兴趣在于，特征向量可被解释为任何经滤波器平滑的时间序列的潜在分量，而对应的特征值则表征了这种平滑程度。困难在于，与趋势滤波器相关的矩阵是 Toeplitz 算子的有限近似，因此对其特征结构知之甚少，且该结构还依赖于边界条件，或者等价地，依赖于样本末端用于趋势估计的滤波器。假设反射边界条件，我们推导出了基于周期性潜在分量及相应平滑特征值的时间序列分解。该分解取决于为内部区域选择的局部多项式回归估计量。否则，特征值分布是通过近似推导得出的，该近似度量了不同边界条件对属于具有已知谱性质代数（如循环代数或余弦代数）的矩阵特征值所带来的扰动大小。随后，推导出了仅涉及极值点的近似特征向量解析形式。本文研究的另一个主题涉及时域中的滤波器设计策略。基于截断特征值，推导出了新的估计量，与基于所有特征值的原始估计量相比，这些新估计量的方差更小且偏差几乎相同。实证例子说明了该方法的有效性。