前向-后向分裂方法的Q-线性收敛性与Lasso最优解唯一性

本文利用二阶变分分析工具，研究求解凸优化问题的流行前向-后向分裂方法（采用Beck-Teboulle线搜索），其中目标函数可拆分为一个可微函数与一个可能非光滑函数之和。我们首先建立该方法的全局收敛性：在不要求所涉及可微函数的梯度全局Lipschitz连续的通常假设下，收敛到问题的最优解（若存在）。当该通常假设由全局Lipschitz连续弱化为局部Lipschitz连续时，我们还获得了函数值序列的$o(k^{-1})$复杂度，改进了现有的$\mathcal{O}(k^{-1})$复杂度结果。随后，在一般度量次正则假设下，我们导出该方法在函数值序列与迭代序列两方面的局部与全局Q-线性收敛性，该假设对凸分段线性二次优化问题自动满足。特别地，我们给出度量次正则假设可验证的充分条件，从而针对机器学习与信号处理中出现的广泛结构化优化问题（包括泊松线性反问题、部分光滑优化问题以及$\ell_1$正则化优化问题）得到所提方法的局部与全局Q-线性收敛性。我们的结果在更弱假设下给出前向-后向分裂方法的$Q$-线性收敛结果，补充了现有文献。此外，通过此方法，我们获得Lasso问题最优解唯一性的若干完整刻画，涵盖了该方向近期的一些结果。