关于Nash-Williams森林分解与星森林分解的局部性

给定图 $G=(V,E)$,其树 Arboricity 为 $\alpha$,我们研究在分布式 LOCAL 模型中将 $G$ 的边分解为 $(1+\epsilon)\alpha$ 个不相交森林的问题。Barenboim 和 Elkin [PODC `08] 给出了一个 LOCAL 算法,使用 $O(\frac{\log n}{\epsilon})$ 轮计算 $(2+\epsilon)\alpha$-森林分解。Ghaffari 和 Su [SODA `17] 取得了进一步进展,在 $\epsilon \alpha = \Omega(\sqrt{\alpha \log n})$ 时(即其算法极限为 $(\alpha+ \Omega(\sqrt{\alpha \log n}))$-森林分解)于 $O(\frac{\log^3 n}{\epsilon^4})$ 轮内计算 $(1+\epsilon) \alpha$-森林分解。该基于 Alon、McDiarmid & Reed [Combinatorica `92] 组合构造的算法,实际上提供了图到\emph{星森林}的分解,即每个森林是若干星的集合。本文的主要结果是降低 $(1+\epsilon)\alpha$-森林分解与星森林分解中 $\epsilon \alpha$ 的阈值。这进一步回答了 Barenboim 和 Elkin 的《分布式图算法》一书中的第 $10^{\text{th}}$ 个开放问题。此外,它给出了首个具有关于 $\epsilon^{-1}$ 的\textit{线性依赖}的 $(1+\epsilon)\alpha$-定向算法。总体上,我们关于森林分解的结果基于网络分解、负载均衡以及关于局部增广序列的一个新结构结果的结合。我们关于星森林分解的结果对 Alon、McDiarmid 和 Reed 的构造使用了更细致的概率分析;此处关于星树 Arboricity 的界此前未知,即便非构造性地亦如此。