论相伴形式态射的像

设 ${\mathbb C}[x_1,\dots,x_n]_{d+1}$ 为 ${\mathbb C}^n$ 上次数为 $d+1$ 的齐次形式构成的向量空间，其中 $n,d\ge 2$。在 J. Alper、M. Eastwood 及作者先前的文章中，我们引入了一个称为 $A$ 的态射，它将每个非退化形式映射为位于空间 ${\mathbb C}[y_1,\dots,y_n]_{n(d-1)}$ 中的所谓相伴形式。我们关注 $A$ 的原因之一是一个猜想——该猜想由关于复孤立超曲面奇点的著名 Mather-Yau 定理所启发——断言判别式非零的形式所构成的仿射开子簇 ${\mathbb C}[x_1,\dots,x_n]_{d+1,\Delta}$ 上所有正则 ${\mathrm {GL}}_n$-不变函数，均可通过 $A$ 对 ${\mathrm {im}}(A)$ 上定义的 ${\mathbb C}[y_1,\dots,y_n]_{n(d-1)}$ 中的有理 ${\mathrm {GL}}_n$-不变函数拉回得到。态射 $A$ 可分解为 $A={\mathbf A}\circ {\mathrm {grad}}$，其中 ${\mathrm {grad}}$ 是梯度态射，而 ${\mathbf A}$ 将每个结式非零的 $n$ 元 $d$ 次形式组映射为 ${\mathbb C}[y_1,\dots,y_n]_{n(d-1)}$ 中的一个形式，其定义类似于非退化 $f$ 的 $A(f)$。为了确立该猜想，研究 ${\mathbf A}$ 的像至关重要。在本文中，我们证明 ${\mathrm {im}}({\mathbf A})$ 是所谓的 catalecticant 簇 $V$、${\mathrm {Gor}}(T)$ 中每一个的不可约分支的开子集，并描述了 ${\mathrm {im}}({\mathbf A})$ 的闭补集，同时澄清并扩展了关于这些簇的已知结果。此外，对于 $n=3$、$d=2$ 的情况，我们通过 4 次 Aronhold 不变量的零轨迹给出了 ${\mathrm {im}}({\mathbf A})$ 补集的描述，这与 $n=2$ 的情形类似，在该情形下已知该补集对于任意 $d\ge 2$ 均为 catalecticant 的消失轨迹。