关于具有次模估值的组合拍卖中福利最大化的难度

我们提出了一种新型单调次模函数：\emph{多峰次模函数}。粗略地说，给定一个集合族 $\cF$，我们构造一个单调次模函数 $f$，使得对于 $\cF$ 中的每个集合 $S$（一个“峰”），$f(S)$ 具有高值，而对于不与 $\cF$ 中任何集合显著相交的每个集合，其值较低。我们利用这一构造表明，在具有次模估值的组合拍卖中，实现优于 $(1-\frac{1}{2e})$-近似（$\simeq 0.816$）的福利最大化：(1) 在通信模型中是不可能的，(2) 在估值显式给出的计算模型中是 NP-hard 的。在通信模型中为该问题建立常数近似难度是一个长期存在的开放性问题。我们在计算模型的难度结果中所构造的估值仅依赖于常数数量的物品，因此即使参与者可以回答关于其估值的任意查询（包括需求查询），该结果仍然成立。我们还研究了最近受到关注的另外两个相关问题：max-min 分配（我们在两种模型中也得到了 $(1-\frac 1 {2e}+\epsilon)$-近似的难度），以及组合公共项目（我们证明了在通信模型中 $(3/4+\epsilon)$-近似的难度，以及在使用常数规模估值的计算模型中 $(1 -\frac 1 e+\epsilon)$-近似的难度）。