关于单词RAM中 $O(n \sqrt{\log n})$ 复杂度的硬度层次结构

本文研究了具有最新单词RAM算法、在描述为 $\Theta(n)$ 个机器字（$\Theta(n \log n)$ 位）的实例上耗时 $O(n\sqrt{\log n})$ 的基本问题之间的相对难度。该复杂度类是Chan和Pătrașcu[ SODA 2010]识别的六个硬度等级之一，包括来自多个领域的多样问题：计数逆序、字符串处理问题（BWT构造、LZ77分解、最长公共子串、批量最长前因查询、批量逆序后缀数组查询）以及计算几何任务（正交范围计数、正交线段相交）。我们的两个主要贡献：我们在上述字符串问题与字典匹配之间建立了新的联系，字典匹配是使用Aho-Corasick自动机可解决的经典问题。我们将字典匹配限制在具有 $O(n)$ 个二进制模式、长度为 $m = O(\log n)$ 的实例上，并证明除非这些实例可在 $o(n\sqrt{\log n})$ 时间复杂度内解决，否则上述字符串问题也无法更快地解决。通过进一步的简化，我们将这种硬度扩展到计数逆序（几何算法中的基本组成部分）以及正交范围计数和正交线段相交。这依赖于字符串嵌套问题，这一新问题等价于字典匹配，可在三步内化简为计数逆序。我们的结果揭示了单一问题（具有两种等价表述）的硬度，这一问题在目前占据 $O(n\sqrt{\log n})$ 难度水平的大多数主要问题之下。这些结果大幅度地将进一步努力提高近线性问题复杂度的努力引导至单一问题。作为本框架的附加结果，我们还证明了几个核心字符串问题的字母表可以有效地简化为二进制。