关于具有端点光滑性条件的多线性乘子定理的失效

我们研究 Hörmander 乘子定理的一个多线性版本,即 \begin{equation*} \Vert T_{\sigma}(f_1,\dots,f_n)\Vert_{L^p}\lesssim \sup_{k\in\mathbb{Z}}{\Vert \sigma(2^k\cdot,\dots,2^k\cdot)\widehat{\phi^{(n)}}\Vert_{L^{2}_{(s_1,\dots,s_n)}}\Vert f_1\Vert_{H^{p_1}}\cdots\Vert f_n\Vert_{H^{p_n}}. \end{equation*} 我们证明该估计在极限情形 $\min{(s_1,\dots,s_n)}=d/2$ 或对于某个 $J \subset \{1,\dots,n\}$ 有 $\sum_{k\in J}{({s_k}/{d}-{1}/{p_k})}=-{1}/{2}$ 时不成立。这给出了 $T_{\sigma}$ 有界性关于 $(s_1,\dots,s_n)$ 的充要条件。